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平方根的无理性及其一种有理迭代算法
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作者:
admin
时间:
2017-11-30 10:09
标题:
平方根的无理性及其一种有理迭代算法
人们在中学都知道■，■，…，■（a不是完全平方数）是无理数，但是为什么它们是无理数？如何用有理数来近似逼近计算■，■，…，■以达到事先指定的精确度？这些问题常常被中学生、甚至大学生、研究生们问到。把此问题提得更一般些，就是：设有理数a>0（a不是完全平方数）是任意给定的，则■是无理数，并且如何来求■的有理数近似值。下面证明了平方根的无理数性质，给出一种中学生都能很好理解的迭代算法。
定义1 设自然数p>1，如果它只能被1和它自身整除，则称p为质数（素数）。例如2，3，5，7，11，13，17等都是质数。
应用数学归纳法和整除性质可以证明如下的基本定理。
定理2[1] 自然数a>1都可以唯一（乘法交换律除外）表示为若干个质数幂的乘积形式，即存在唯一的m，n1，n2，…nm和质数p1，p2，…，pm使得
a=p■■p■■…p■■
定理3 在定理2的表示式中，a>1为平方数的充分必要条件是n1，n2，…，nm皆为偶数，即n1=2k1，n2=2k2，…，nm=2km.
证明 如果n1=2k1，n2=2k2，…，nm=2km，则
a=p■■p■■…p■■=（p■■p■■…p■■）■=b■
所以a>1为完全平方数。反之，a=b2，b>1为完全平方数，则由定理2知，即存在唯一的m，k1，k2，…，km和质数p1，p2，…pm，使得b=p■■p■■…p■■.
从而a=b2=（p■■p■■…p■■）■=2p■■p■■…p■■=p■■p■■…p■■
于是，由定理2的唯一性知n■=2k■，n■=2k■，…，n■=2k■都是偶数。证毕。
推理4 质数p能够整除b>1的充分必要条件是 p能够整除b2。
定理5 设自然数a>1不是完全平方数，则■是无理数。
证明（反证法） 假设自然数存在x，y≠1使得
■=x/y，x=■y，
则由定理2知
a=p■■p■■…p■■，
x2=ay2=p■■p■■…p■■y2.
所以，由定理3知道x2中一定含有质数p1且p1的指数一定是偶數，y2中可能含有质数p1且p1的指数也一定是偶数，或者y2中也可能不含有质数p1即p1的指数为0也是偶数，故指数n1等于x2中含质数p1的指数减去y2中含有质数p1的指数：
n1=偶数-偶数=2k1为偶数。
同理可得n■=2k，…，n■=2k■。于是
a=p■■p■■…p■■=（p■■p■■…p■■）■=b■为一个完全平方数，这与已知矛盾。证毕。
定理6 设有理数数a>0不是完全平方数（两个自然数的平方之比），则■是无理数。
证明 因为a>0为有理数，所以存在自然数u，v使得a=u/v，且不妨设u，v不含有相同的质数p，即它们不能被相同的质数p整除，否则可以约分，并由定理5，不妨设u>1，v>1。所以，由定理2得
u=p■■p■■…p■■，v=q■■q■■…q■■，
p■≠q■，i=1，2，…，m，j=1，2，…，t.全为质数。
于是（反证法），假设自然数存在x，y≠1使得
■=x/y，x=■y，
则由定理2知
vx2=uy2，
q■■q■■…q■■x■=p■■p■■…p■■y■.
所以，由定理知道3x2中一定含有质数p1且p1的指数一定是偶数，y2中可能含有质数p1且p1的指数也一定是偶数，或者y2中也可能不含有质数p1即p1的指数为0也是偶数，故指数n1等于x2中含质数p1的指数减去y2中含有质数p1的指数：
n1=偶数-偶数=2k1为偶数。
同理可得n■=2k■，…，n■=2k■，s■=2l■，s■=2l■，…，
s■=2l■。于是
a=■=■=■■=■■
为一个完全平方数，这与已知矛盾。证毕。
下面给出平方根的一种有理数近似值的计算方法：
任意给定■的一个有理数近似值x0>0，在两个正有理数数x0，■中，一定有一个大于■，另一个小于■，除非x0正好就是■.我们有理由认为这两个有理数数的算术平均值x1=■x0+■可能更加靠近■，这便得到了一个更好的有理数近似。事实上：
x1-■=■x0+■-■=■（x■■+a-2x■■■）
=■（x0-■）2≥0
这说明无论初值有理数x0如何，得出的第一次有理数近似值x1是过剩近似值。不妨设初值x0本身就是过剩近似值，因此x0>x0-■>0.由此得出
0≤x1-■=■x0-■■≤■x0-■.
即第一次有理数近似值x1到■的距离至多是初值x0 到■的距离的一半。
重复施行上述的步骤，便产生数列x0，x1，…，xn，…，其中
xn=■x■+■，n∈N*，
0≤xn-■≤■xn-1-■≤■xn-2-■≤…≤■x0-■.
所以■x■=■，即对于充分大的n，数xn与■的距离很快变小，并且以1/2n的速度快速让它们的距离趋向于零。
这种方法在实际应用中非常方便。例如求■的近似值，就取初值x0=2，反复迭代的结果是：
x0=2.0，
x1=1.5，
x2=1.4166…，
x3=1.4142566…，
x4=1.41421356…，
x5=1.41421356…，
于是，x5就是一个与■相当精确的近似值，它们的距离小于1/25=1/32.
参考文献：
[1]华罗庚.数论导引[M].北京：科学出版社，1957.
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